Hai para adik- adik pejuang kelas 11. Masih semangat nggak di akhir semester 4 ini ?. Harus semangat dongg yaa ! semangat semangat semangat dan tak letih menuntut ilmu. Bentar lagi kita bakalan memasuki kelas 12 yang puadat banget banget ashiap. Maka dari itu belajar harus benar-benar dipersiapkan dengan sangat matang sekarang . Apalagi bagi adik-adik yang ingin kuliah melalui jalur SNMPTN. Grafiknya tentu tidak boleh turun. Semangat adik- adik karena usaha itu tidak akan menghianati hasil dik-adik!!!!.
Oiya jadi kita akan membahas materi kelas 11 pelajaran Matematika Peminatan tentang Polinomial. Apa sih itu Polinomial ??? Mie Apollo atau baju bermerek Polo. Bukan begitu adik-adik. Coba kita kembali ke masa lalu dulu ya, adik-adik. Adik-adik pernah nggak dulu pas SMP belajar fungsi berpangkat kuadrat. Nah, kalau polinomial ini sendiri artinya pangkat suatu fungsi lebih dari 2. Berikut ialah pejelasan materi Polinomial secara rinci.
Pengertian Polinomial
Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif. Pangkat tertinggi dari variabel pada suatu polinomial dinamakan dengan derajat polinomial tersebut.
Suku Banyak ( Polinomial )
Suku banyak (polinomial) dalam x yang berderajat n, dengan n bilangan cacah dan ≠ 0 dituliskan dalam bentuk :
Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak itu. Bilangan an disebut koefisien dari variabel xn dan A0 disebut variabel suku tetap atau konstanta
merupakan bilangan real.
Jika suku banyak dalam variabel x dengan koefisien bilangan real dianggap suatu fungsi , maka penulisannya berbentuk :
Jika suku banyak dalam variabel x dengan koefisien bilangan real dianggap suatu persamaan, maka penulisannya berbentuk:
Bentuk ini sering disebut persamaan rasional integral derajat n dalam variabel x
Contoh 1 : Unsur-unsur Polinomial
Bentuk
adalah suku banyak dalam variabel x yang berderajat 3. Sebutkan koefisien pangkat tertinggi, koefisien pangkat terendah, dan jumlah semua koefisiennya.
Pembahasan :
Bentuk
mempunyai :
a. koefisen pangkat tertinggi = 1 dengan pangkat tertinggi 3,
b. koefisien pangkat terendah = 3 yang merupakan suku tetap konstanta,
c. jumlah semua koefisien = 1 – 5 + 7 +3 = 6.
Contoh 2 : Koefisien suatu Polinomial
Tentukan Koefisien x dalam setiap operasi aljabar berikut.
Pembahasan :
a.
Jadi, Koefisien x adalah 3
b.
Jadi , Koefisien x adalah – 1
c.
Jadi, Koefisien x adalah -4
Contoh 7 : Penamaan suku banyak
merupakan monomial
merupakan binomial
merupakan trinomial
Polinomial dengan derajat (pangkat) rendah mempunyai nama khusus, yaitu jika polinomial mempunyai :
a. derajat nol disebut polinomial konstan atau konstanta,
b. derajat satu disebut polinomial linear,
c. derajat dua disebut polinomial kuadratik atau kuadratik,
d. derajat tiga atau disebut polinomial kubik atau kubik,
e. derajat empat disebut polinomial kuartik atau kuartik,
Jika sebuah polinomial ditulis sebagai:
Dengan suku berderajat tertinggi ditulis sebagai suku pertama dan suku selanjutnya dalam derajat menurun dan diakhiri dengan konstanta, polinomial tersebut disebut polinomial dengan urutan turun (descending order) , dan sebaliknya,
Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Polinomial
Variabel pada polinomial merupakan suatu bilangan real yang belum diketahui nilainya. Oleh karena itu, sifat-sifat operasi bilangan real juga berlaku pada operasi polinomial. Misalkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif berlaku pada operasi suku-suku polinomial berikut.
→ sifat distributif
→ sifat komutatif dan asosiatif
Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis yaitu suku-suku yang mempunyai variabel yang berpangkat sama. Perkalian dua polinomial dilakukan dengan menggunakan sifat distributif. Perhatikan penjumlahan, pengurangan, dan perkalianpolinomial p(X) dan q(x) berikut.
Contoh :
Diketahui polinomial
Penjumlahan polinomial p(x) dan q(x):
Pengurangan polinomial p(x) dan q(x):
p(x) – q(x)
Perkalian polinomial p(x) dan q(x) :
p(x) . q(x)
Secara umum, jika polinomial p(x) berderajat m dan polinomial q(x) berderajat n, berlaku sifat-sifat operasi polinomial sebagai berikut.
a. penjumlahan, pengurangan, dan perkalian polinomial bersifat tertutup. Artinya, hasil penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua polinomial merupakan polinomial juga,.
b. derajat hasil penjumlahan polinomial p(x) dan q(x) adalah maksimum dari m dan n atau kurang dari itu,
c.derajat hasil pengurangan polinomial p(x) dan q(x) adalah maksimum dari m dan n atau kurang dari itu,
d. derajat hasil perkalian polinomial p(x) dan q(x) adalah m+n.
Kesamaan Polinomial
Dua polinomial berderajat n adalah variabel x dikatakan sama atau identik jika koefisien koefien x yang berpangkat sama adalah sama. Misalkan p(x) dan q (x) polinomial sebagai berikut.
p(x) sama dengan q(x) yaitu p(x) = q(x) jika dan hanya jika an = bn; an-1 = bn-1;. . .; ao = b0
Nilai Polinomial
Menentukan Nilai Polinomial
Suatu polinomial dapat dipandang sebagai fungsi f(x) seperti berikut.
Nilai polinomial f(x) untuk x = k samadengan nilai fungsi f(x) untuk x = k yaitu f(k) dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = k seperti berikut.
Misalkan nilai polinomial V(x)=3x^3-85x^2+600x untuk x = 5 adalah V(5). Nilai V(5) dapat ditentukan dengan cara subtitusi seperti berikut :
V(x)= 3x^3-85x^2+ 600x
V(5)= 3(5)^3-85(5)^2+600(5)
=3(125)-85(25)+3.000
=375-2.125+3.000
=125
Jadi, nilai polinomial V(x) untuk x = 5 adalah 1. 250
Menentukkan Nilai Polinomial dengan Cara Skema Horner
Misalkan f(x)= ax^3+bx^2+cx+d maka f(k)= ak^3+bxk^2+ck+d
ak^3+ bk^2+ck+d=(ak^2+bk+c)k+d
=((ak+b)k+c)k+d
Dari bentuk terakhir ini kita dapat menentukan nilai polinomial secara bertahap sebagai berikut.
a.Kalikan a dengan k, lalu jumlahkan dengan b sehingga didapat ak + b
b.Kalikan ak + b dengan k, lalu jumlahkan denganc sehingga didapat (ak + b)k+c = ak2 + bk+ c
c.Kalikan ak2 + bk + c dengan k, lalu jumlahkan dengan d sehingga didapat (ak^2 + bk + c)k + d = ak^2 + bk^2 + ck + d
1.Pembagian Polinomial
Pembagian Polinomial dengan Cara Bersusun
Seperti halnya pembagian bilangan, pembagian polinomial juga dapat dilakukan dengan cara bersusun. Perhatikan pembagian polinomial 2x^3 – 3x2 + x + 6 oleh x + 2 berikut ini
Yang dibagi pembagi hasil bagi sisa
Secara umum dapat dituliskan:
F(x) = g(x) h(x) + s(x) dengan f(x) polinomial yang dibagi
g(x) polinomial pembagi
h(x) polinomial hasil bagi
s (x) polinomial sisi
jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m, dengan m < n, h(x) berderajat (n-m) dan s(x) berderajat paling tinggi (m-1).
2.Pembagian polinomial dengan Cara skema horner (pembagian sintetis)
a. Pembagian Polinomial Oleh (x-k)
Pembagian polinomial f(x) oleh (x-k) dapat dilakukan dengan cara skema horner. Perhatikan cara menetukan nilai polinomial f(x) = 2x3 – 3x2 + x + 6 untuk x = -2 menggunakan cara horner.
b.Pembagian Polinomial Oleh (ax + b)
Di atas telah disajikan bahwa jika polinomial f(x) dibagi (x-k) memberikan hasil bagi h(x) dan sisa , maka diperoleh hubungan:
1. Teorema Sisa
Pada subbab di depan Anda telah belajar cara menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial. Misal polinomial f(x) dibagi polinomial g(x) diperoleh hasil bagi h(x) dengan sisa s(x), maka dapat dituliskan sebagai berikut.
f(x)=g(x) h(x) + s(x)
keterangan:
derajat h(x) sama dengan derajat f(x) dikurangi derajat g(x).
derajat s(x) kurang dari derajat g(x).
a. Teorema sisa 1
Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (x-k) adalah s=f(k).Bukti:Polinomial pembagi g(x)= x-k berderajat 1, maka sisapembagiannya berderajat 0 yaitu suatu konstanta s sehingga diperoleh:
f(x)=g(x) h(x) + s(x)
f(x)=(x-k) h(x) + s
untuk x=k:
f(k)=(k-k) h(k)+s
= 0 .h(k) + s
= 0 + s
= s
Terbukti: sisa = s = f(k)
b. Teorema Sisa 2
Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (ax+b) adalah s=f(-b/a Bukti:Polinomial pembagi g(x)=ax + b berderajat 1, maka sisa pembagiannya berderajat 0 yaitu suatu konstanta s sehingga diperoleh:
F(x)=g(x) h(x) + s
F(x)=(ax + b) h(x) + s
Untuk x=-b/a
f(-b/a) = (a.(-b/a) + b) h(-b/a) + s
= (-b+b) h(-b/a) + s
= 0 .h(-b/a) + s
= 0 + s
= s
Terbukti sisa= s = f(-b/a)
c. Teorema Sisa 3
Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (x-a)(x-b) adalah s(x)=px + q dengan f(a)= pa + q dan f(b)= pb + q.
Bukti:
Polinomial pembagi g(x)=(x-a)(x-b) berderajat 2, maka sisa pembagiannya berderajat 1, yaitu
s(x) = px + q sehingga diperoleh:
f(x) = g(x) . h(x) + s(x)
f(x) = (x-a)(x-b) h(x) + (px + q)
untuk x=a:
f(a) = (a-a) (a-b).h(a)+(p.a + q)
= 0 . (a-b) h(a) + (ap + q)
= 0 + (ap + q)
= (ap + q)
Diperoleh: f(a) = ap + q
Untuk x=b:
f(b) = (b-a) (b-b) h(b) + (p . b + q)
= (b-a) . 0 h(b) + (bp + q)
= 0 + (bp + q)
Diperolehf(b) = bp + q
Terbukti: sisa = s(x) = px + q denganf(a) = pa + q dan f(b) = pb + q
2. Teorema Faktor
Suatu polinomial yang membagi habis polinomial lain dikatakan factor dari polinomial yang dibagi. Membagi habis disini berarti sisa pembagiannya 0. Misalkan suatu polinomial f(x) dibagi habis oleh (x-k) maka (x-k) dikatakan sebagai faktor dari f(x) dan dapat dituliskan f(x) = (x-k).h(x) dengan h(x) hasil pembagiannya. Sebelum menentukan faktor dari suatu polinomial, pahamilah teorema faktor berikut:
Diketahui f(x) suatu polynomial dan k suatu konstanta.
(x-k) factor dari f(x) jika dan hanya jika nilaif(k)=0
Bukti:
Pembuktian kebenaran teorema di atas dilakukan dua tahap sebagai berikut:
a. Jika (x-k) faktor dari f(x), maka sisa pembagian f(x) oleh (x-k) adalah 0 dan dapat dituliskan
f(x) = (x-k) . h(x)
untuk x=k diperoleh
f(k) = (k-k) . h(k)
= 0 .h(k)
= 0
Terbukti: jika (x-k) faktor dari f(x) maka nilaif(k)=0
b. Jikaf(k)=0 maka (x-k) faktor dari f(x)
diketahui nilai f(k) = 0
berdasarkan teorema sisa, f(k) adalah sisa pembagian f(x) oleh (x-k) yaitu
f(x) = (x-k) . h(x) + f(k)
= (x-k) .h(x) + 0
= (x-k) .h(x)
Diperoleh bahwa f(x) merupakan hasil kali (x-k) dengan suatu polinomial h(x), berarti (x-k) merupakan faktor dari f(x).
Terbukti jika nilai f(k)=0 maka (x-k) faktor dari f(x).
E. Persamaan Polinomial
1.Persamaan polinomial
Bentuk umum persamaan polinomial dengan variabel x sebagai berikut.
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-1 + ….. + a2x2 + a1x+ a0 = 0
Dengan an ≠ 0 dan n bilangan asli
Persamaan polinomial merupakan kalimat terbuka yang nilai kebenaran tergantung pada nilai variabel yang diberikan. Nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar dinamakan penyelesaian atau akar persamaan polinomial. Perhatikan contoh berikut.
Persamaan polinomial : x^3 – 4x^2 + 6 = 0
Untuk x = 1
13 – 4 x 12 + 1 + 6 = 0
<=>1 – 4 + 1 + 6 = 0
<=> 4 = 0 (salah)
Diperoleh x = 1 bukan penyelesaian persamaan polinomial.
Untuk x = 2
23 – 4 x 22 + 2 + 6 = 0
<=> 8 – 16 + 2 + 6 = 0
<=>0 = 0 (benar)
Diperoleh x = 2 merupakan penyelesaian persamaan polinomial.
2. Menentukan akar-akar persamaan polinomial
Menentukan akar-akar persamaan polinomial berarti menetukan nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar. Untuk menetukan akar-akar polinomial berderajat dua dapat dilakukan dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc yang semua itu sudah anda pelajari di SMP. Sementara untuk polinomial berderajat lebih dari dua dilakukan dengan cara pemfaktoran. Perhatikan contoh berikut.
Persamaan polinomial : x^3 – 4x^2 + x + 6 = 0
Akar-akar persamaan polinomial dicari dengan pemfaktoran polinomial sebagai berikut.
X^3 + 3x^2 – 6x – 8 = 0
<=>(x + 1)(x^2 + 2x – 8) = 0
<=>(x + 1)(x – 2)(x + 4) = 0
<=> x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x + 4 = 0
<=> x = -1 atau x = 2 atau x = -4
Jadi, akar-akar persamaan polinomial adalah -1, 2, dan -4.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial
Jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial dapat ditentukan tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial dijelaskan dalam teorema berikut.
3. Teorema Vieta
jika x1, x2, x3, …., xn adalah akar-akar persamaan polinomial anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0 = 0 maka berlaku:
x1 + x2 + x3 + …..+ xn-1 + xn =
x1x2 + x1x3 + x2x3 + x2x3 + x2x4 + ….+ xn-1xn =
…………. Dan seterusnya
x1x2x3……xn-1xn= (-1)n x a0/an
contoh:
Misalkan x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan polinomial 2x4 – x3 – 9x2 + 4x + 4 = 0. Persamaan polinomial tersebut mempunyai a4 = 2, a3 = -1, a2 = -9, a1 = 4 , dan a0 = 4.
X1 + x2 + x3 + x4 = -a3/a4 = -((-1))/2 = 1/2
X1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = a2/a4 = -4 1/2
X1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = - a1/a4 = -2
X1x2x3x4 = a0/a4 = 4/2 = 2
FUNGSI PECAHAN SEBAGIAN:
Nama Kelompok:
1. Adira Hestriyasha
2. Gloria Sarah Saragih
3. Ifkhyna Khaula Hakika
Kelas: XI MIPA 4
Daftar Pustaka:
1. Buku Erlangga penulis Sukino
2. Buku Koding Ganesha Operation
3. Lks Intan Pariwara
Oiya jadi kita akan membahas materi kelas 11 pelajaran Matematika Peminatan tentang Polinomial. Apa sih itu Polinomial ??? Mie Apollo atau baju bermerek Polo. Bukan begitu adik-adik. Coba kita kembali ke masa lalu dulu ya, adik-adik. Adik-adik pernah nggak dulu pas SMP belajar fungsi berpangkat kuadrat. Nah, kalau polinomial ini sendiri artinya pangkat suatu fungsi lebih dari 2. Berikut ialah pejelasan materi Polinomial secara rinci.
Pengertian Polinomial
Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif. Pangkat tertinggi dari variabel pada suatu polinomial dinamakan dengan derajat polinomial tersebut.
Suku Banyak ( Polinomial )
Suku banyak (polinomial) dalam x yang berderajat n, dengan n bilangan cacah dan ≠ 0 dituliskan dalam bentuk :
Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak itu. Bilangan an disebut koefisien dari variabel xn dan A0 disebut variabel suku tetap atau konstanta
Jika suku banyak dalam variabel x dengan koefisien bilangan real dianggap suatu fungsi , maka penulisannya berbentuk :
Jika suku banyak dalam variabel x dengan koefisien bilangan real dianggap suatu persamaan, maka penulisannya berbentuk:
Bentuk ini sering disebut persamaan rasional integral derajat n dalam variabel x
Contoh 1 : Unsur-unsur Polinomial
Bentuk
adalah suku banyak dalam variabel x yang berderajat 3. Sebutkan koefisien pangkat tertinggi, koefisien pangkat terendah, dan jumlah semua koefisiennya.Bentuk
a. koefisen pangkat tertinggi = 1 dengan pangkat tertinggi 3,
b. koefisien pangkat terendah = 3 yang merupakan suku tetap konstanta,
c. jumlah semua koefisien = 1 – 5 + 7 +3 = 6.
Contoh 2 : Koefisien suatu Polinomial
Tentukan Koefisien x dalam setiap operasi aljabar berikut.
a. 
b. 
c. 
Pembahasan :
a.
Jadi, Koefisien x adalah 3
b.
Jadi , Koefisien x adalah – 1
c.
Jadi, Koefisien x adalah -4
Contoh 7 : Penamaan suku banyak
merupakan monomial merupakan binomial
merupakan trinomialPolinomial dengan derajat (pangkat) rendah mempunyai nama khusus, yaitu jika polinomial mempunyai :
a. derajat nol disebut polinomial konstan atau konstanta,
b. derajat satu disebut polinomial linear,
c. derajat dua disebut polinomial kuadratik atau kuadratik,
d. derajat tiga atau disebut polinomial kubik atau kubik,
e. derajat empat disebut polinomial kuartik atau kuartik,
Jika sebuah polinomial ditulis sebagai:
Dengan suku berderajat tertinggi ditulis sebagai suku pertama dan suku selanjutnya dalam derajat menurun dan diakhiri dengan konstanta, polinomial tersebut disebut polinomial dengan urutan turun (descending order) , dan sebaliknya,
Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Polinomial
Variabel pada polinomial merupakan suatu bilangan real yang belum diketahui nilainya. Oleh karena itu, sifat-sifat operasi bilangan real juga berlaku pada operasi polinomial. Misalkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif berlaku pada operasi suku-suku polinomial berikut.
→ sifat distributif → sifat komutatif dan asosiatifContoh :
Diketahui polinomial
p(x) – q(x)
Perkalian polinomial p(x) dan q(x) :
p(x) . q(x)
Secara umum, jika polinomial p(x) berderajat m dan polinomial q(x) berderajat n, berlaku sifat-sifat operasi polinomial sebagai berikut.
a. penjumlahan, pengurangan, dan perkalian polinomial bersifat tertutup. Artinya, hasil penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua polinomial merupakan polinomial juga,.
b. derajat hasil penjumlahan polinomial p(x) dan q(x) adalah maksimum dari m dan n atau kurang dari itu,
c.derajat hasil pengurangan polinomial p(x) dan q(x) adalah maksimum dari m dan n atau kurang dari itu,
d. derajat hasil perkalian polinomial p(x) dan q(x) adalah m+n.
Kesamaan Polinomial
Dua polinomial berderajat n adalah variabel x dikatakan sama atau identik jika koefisien koefien x yang berpangkat sama adalah sama. Misalkan p(x) dan q (x) polinomial sebagai berikut.
p(x) sama dengan q(x) yaitu p(x) = q(x) jika dan hanya jika an = bn; an-1 = bn-1;. . .; ao = b0
Nilai Polinomial
Menentukan Nilai Polinomial
Suatu polinomial dapat dipandang sebagai fungsi f(x) seperti berikut.
Misalkan nilai polinomial V(x)=3x^3-85x^2+600x untuk x = 5 adalah V(5). Nilai V(5) dapat ditentukan dengan cara subtitusi seperti berikut :
V(x)= 3x^3-85x^2+ 600x
V(5)= 3(5)^3-85(5)^2+600(5)
=3(125)-85(25)+3.000
=375-2.125+3.000
=125
Jadi, nilai polinomial V(x) untuk x = 5 adalah 1. 250
Menentukkan Nilai Polinomial dengan Cara Skema Horner
Misalkan f(x)= ax^3+bx^2+cx+d maka f(k)= ak^3+bxk^2+ck+d
ak^3+ bk^2+ck+d=(ak^2+bk+c)k+d
=((ak+b)k+c)k+d
Dari bentuk terakhir ini kita dapat menentukan nilai polinomial secara bertahap sebagai berikut.
a.Kalikan a dengan k, lalu jumlahkan dengan b sehingga didapat ak + b
b.Kalikan ak + b dengan k, lalu jumlahkan denganc sehingga didapat (ak + b)k+c = ak2 + bk+ c
c.Kalikan ak2 + bk + c dengan k, lalu jumlahkan dengan d sehingga didapat (ak^2 + bk + c)k + d = ak^2 + bk^2 + ck + d
1.Pembagian Polinomial
Pembagian Polinomial dengan Cara Bersusun
Seperti halnya pembagian bilangan, pembagian polinomial juga dapat dilakukan dengan cara bersusun. Perhatikan pembagian polinomial 2x^3 – 3x2 + x + 6 oleh x + 2 berikut ini
Secara umum dapat dituliskan:
F(x) = g(x) h(x) + s(x) dengan f(x) polinomial yang dibagi
g(x) polinomial pembagi
h(x) polinomial hasil bagi
s (x) polinomial sisi
jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m, dengan m < n, h(x) berderajat (n-m) dan s(x) berderajat paling tinggi (m-1).
2.Pembagian polinomial dengan Cara skema horner (pembagian sintetis)
a. Pembagian Polinomial Oleh (x-k)
Pembagian polinomial f(x) oleh (x-k) dapat dilakukan dengan cara skema horner. Perhatikan cara menetukan nilai polinomial f(x) = 2x3 – 3x2 + x + 6 untuk x = -2 menggunakan cara horner.
b.Pembagian Polinomial Oleh (ax + b)
Di atas telah disajikan bahwa jika polinomial f(x) dibagi (x-k) memberikan hasil bagi h(x) dan sisa , maka diperoleh hubungan:
Misalkan
polinomial dibagi oleh polinomial . Hasil bagi dan sisa
pembagian ini dapat dicari dengan cara skema Horner jika dapat difaktorkan. Jika tidak demikian, hasil
bagi dan sisa pembagian tersebut dapat dicari dengan cara bersusun.
1. Teorema Sisa
Pada subbab di depan Anda telah belajar cara menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial. Misal polinomial f(x) dibagi polinomial g(x) diperoleh hasil bagi h(x) dengan sisa s(x), maka dapat dituliskan sebagai berikut.
f(x)=g(x) h(x) + s(x)
keterangan:
derajat h(x) sama dengan derajat f(x) dikurangi derajat g(x).
derajat s(x) kurang dari derajat g(x).
a. Teorema sisa 1
Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (x-k) adalah s=f(k).Bukti:Polinomial pembagi g(x)= x-k berderajat 1, maka sisapembagiannya berderajat 0 yaitu suatu konstanta s sehingga diperoleh:
f(x)=g(x) h(x) + s(x)
f(x)=(x-k) h(x) + s
untuk x=k:
f(k)=(k-k) h(k)+s
= 0 .h(k) + s
= 0 + s
= s
Terbukti: sisa = s = f(k)
b. Teorema Sisa 2
Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (ax+b) adalah s=f(-b/a Bukti:Polinomial pembagi g(x)=ax + b berderajat 1, maka sisa pembagiannya berderajat 0 yaitu suatu konstanta s sehingga diperoleh:
F(x)=g(x) h(x) + s
F(x)=(ax + b) h(x) + s
Untuk x=-b/a
f(-b/a) = (a.(-b/a) + b) h(-b/a) + s
= (-b+b) h(-b/a) + s
= 0 .h(-b/a) + s
= 0 + s
= s
Terbukti sisa= s = f(-b/a)
c. Teorema Sisa 3
Sisa pembagian polinomial f(x) oleh (x-a)(x-b) adalah s(x)=px + q dengan f(a)= pa + q dan f(b)= pb + q.
Bukti:
Polinomial pembagi g(x)=(x-a)(x-b) berderajat 2, maka sisa pembagiannya berderajat 1, yaitu
s(x) = px + q sehingga diperoleh:
f(x) = g(x) . h(x) + s(x)
f(x) = (x-a)(x-b) h(x) + (px + q)
untuk x=a:
f(a) = (a-a) (a-b).h(a)+(p.a + q)
= 0 . (a-b) h(a) + (ap + q)
= 0 + (ap + q)
= (ap + q)
Diperoleh: f(a) = ap + q
Untuk x=b:
f(b) = (b-a) (b-b) h(b) + (p . b + q)
= (b-a) . 0 h(b) + (bp + q)
= 0 + (bp + q)
Diperolehf(b) = bp + q
Terbukti: sisa = s(x) = px + q denganf(a) = pa + q dan f(b) = pb + q
2. Teorema Faktor
Suatu polinomial yang membagi habis polinomial lain dikatakan factor dari polinomial yang dibagi. Membagi habis disini berarti sisa pembagiannya 0. Misalkan suatu polinomial f(x) dibagi habis oleh (x-k) maka (x-k) dikatakan sebagai faktor dari f(x) dan dapat dituliskan f(x) = (x-k).h(x) dengan h(x) hasil pembagiannya. Sebelum menentukan faktor dari suatu polinomial, pahamilah teorema faktor berikut:
Diketahui f(x) suatu polynomial dan k suatu konstanta.
(x-k) factor dari f(x) jika dan hanya jika nilaif(k)=0
Bukti:
Pembuktian kebenaran teorema di atas dilakukan dua tahap sebagai berikut:
a. Jika (x-k) faktor dari f(x), maka sisa pembagian f(x) oleh (x-k) adalah 0 dan dapat dituliskan
f(x) = (x-k) . h(x)
untuk x=k diperoleh
f(k) = (k-k) . h(k)
= 0 .h(k)
= 0
Terbukti: jika (x-k) faktor dari f(x) maka nilaif(k)=0
b. Jikaf(k)=0 maka (x-k) faktor dari f(x)
diketahui nilai f(k) = 0
berdasarkan teorema sisa, f(k) adalah sisa pembagian f(x) oleh (x-k) yaitu
f(x) = (x-k) . h(x) + f(k)
= (x-k) .h(x) + 0
= (x-k) .h(x)
Diperoleh bahwa f(x) merupakan hasil kali (x-k) dengan suatu polinomial h(x), berarti (x-k) merupakan faktor dari f(x).
Terbukti jika nilai f(k)=0 maka (x-k) faktor dari f(x).
E. Persamaan Polinomial
1.Persamaan polinomial
Bentuk umum persamaan polinomial dengan variabel x sebagai berikut.
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-1 + ….. + a2x2 + a1x+ a0 = 0
Dengan an ≠ 0 dan n bilangan asli
Persamaan polinomial merupakan kalimat terbuka yang nilai kebenaran tergantung pada nilai variabel yang diberikan. Nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar dinamakan penyelesaian atau akar persamaan polinomial. Perhatikan contoh berikut.
Persamaan polinomial : x^3 – 4x^2 + 6 = 0
Untuk x = 1
13 – 4 x 12 + 1 + 6 = 0
<=>1 – 4 + 1 + 6 = 0
<=> 4 = 0 (salah)
Diperoleh x = 1 bukan penyelesaian persamaan polinomial.
Untuk x = 2
23 – 4 x 22 + 2 + 6 = 0
<=> 8 – 16 + 2 + 6 = 0
<=>0 = 0 (benar)
Diperoleh x = 2 merupakan penyelesaian persamaan polinomial.
2. Menentukan akar-akar persamaan polinomial
Menentukan akar-akar persamaan polinomial berarti menetukan nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar. Untuk menetukan akar-akar polinomial berderajat dua dapat dilakukan dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc yang semua itu sudah anda pelajari di SMP. Sementara untuk polinomial berderajat lebih dari dua dilakukan dengan cara pemfaktoran. Perhatikan contoh berikut.
Persamaan polinomial : x^3 – 4x^2 + x + 6 = 0
Akar-akar persamaan polinomial dicari dengan pemfaktoran polinomial sebagai berikut.
X^3 + 3x^2 – 6x – 8 = 0
<=>(x + 1)(x^2 + 2x – 8) = 0
<=>(x + 1)(x – 2)(x + 4) = 0
<=> x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x + 4 = 0
<=> x = -1 atau x = 2 atau x = -4
Jadi, akar-akar persamaan polinomial adalah -1, 2, dan -4.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial
Jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial dapat ditentukan tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial dijelaskan dalam teorema berikut.
3. Teorema Vieta
jika x1, x2, x3, …., xn adalah akar-akar persamaan polinomial anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0 = 0 maka berlaku:
x1 + x2 + x3 + …..+ xn-1 + xn =
x1x2 + x1x3 + x2x3 + x2x3 + x2x4 + ….+ xn-1xn =
…………. Dan seterusnyax1x2x3……xn-1xn= (-1)n x a0/an
contoh:
Misalkan x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan polinomial 2x4 – x3 – 9x2 + 4x + 4 = 0. Persamaan polinomial tersebut mempunyai a4 = 2, a3 = -1, a2 = -9, a1 = 4 , dan a0 = 4.
X1 + x2 + x3 + x4 = -a3/a4 = -((-1))/2 = 1/2
X1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = a2/a4 = -4 1/2
X1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = - a1/a4 = -2
X1x2x3x4 = a0/a4 = 4/2 = 2
FUNGSI PECAHAN SEBAGIAN:
Bandingkan derajat pembilang ruas kanan dengan derajat
penyebut ruas kiri pada dua pecahan di atas: “derajat pembilang sekurang
kurangnya satu kurangnya dari derajat penyebut sebelumnya.
“ untuk setiap fakor linear
Demikian materi polinomial semoga dapat bermanfaat bagi dik adik sekalian ya !. Jangan lupa belajar ya senin depan ulum matematika p
Nama Kelompok:
1. Adira Hestriyasha
2. Gloria Sarah Saragih
3. Ifkhyna Khaula Hakika
Kelas: XI MIPA 4
Daftar Pustaka:
1. Buku Erlangga penulis Sukino
2. Buku Koding Ganesha Operation
3. Lks Intan Pariwara
Keren banget kakak
BalasHapusmakasi dek :)
Hapus